第20节讨论了数列的递归关系式：a₁ = a₂ = 1/2，然后aₙ₊₁ = (aₙ aₙ₋₁)/2。接下来，我会逐步详细分析这个数列的行为，并提供一个数学推导。
1. 理解递归关系式
首先，我们有一个初始值为a₁ = 1/2的数列。接着，第二个项也设为1/2，即a₂ = 1/2。接下来的每一项都是前两项的平均值： - a₃ = (a₂ a₁)/2 - a₄ = (a₃ a₂)/2 - …依此类推。
2. 计算前几项
我们可以手动计算数列的前几项，观察其趋势：
- 已知：a₁ = 1/2，a₂ = 1/2。
- a₃ = (a₂ a₁)/2 = (1/2 1/2)/2 = 1/2
- a₄ = (a₃ a₂)/2 = (1/2 1/2)/2 = 1/2
- 观察到：从a₁到a₄，所有项都为1/2。
因此，这个数列是一个常数序列，每一项都是1/2。
3. 分析递推关系式的稳定性和收敛性
接下来，我们可以分析这个递推关系式是否具有稳定性，并确定其极限行为。考虑数列的稳定性和收敛速度：
- 假设初始值为a₁ = a₂ = 1/2。
- 接下来的每一项都是前两项的平均值：
- a₃ = (1/2 1/2)/2 = 1/2
- a₄ = (1/2 1/2)/2 = 1/2
- a₅ = (1/2 1/2)/2 = 1/2
- 这表明，无论初始值如何，只要a₁和a₂都等于1/2，所有后续项都将保持为1/2。因此，数列是一个常数序列。
4. 极限行为的数学分析
为了更全面地理解这个数列的行为，我们可以使用极限的概念来分析当n趋近于无穷时，数列的极限是否存在，并计算其值：
设aₙ和aₙ₋₁都趋向于某个极限L，那么根据递推关系式：
L = (L L)/2 ⇒ L = L
这意味着存在多个可能的极限，但实际上由于初始条件都是1/2，并且所有后续项都等于1/2，所以显然极限也是1/2。
5. 收敛速度
数列收敛的速度取决于递推关系式的性质。在这里，由于每次迭代都只取前两项的平均值，并且初始项已经等于极限，因此收敛速度非常快，几乎在一步后就达到了稳定状态。
6. 数学模型的适用性
这个递归关系式可以应用于许多实际问题中：
- 信号处理：用于生成稳定的时序信号或平滑数据。
- 动态系统：描述某种简单且稳定的演化过程。
- 数值逼近：在某些计算方法中，使用这样的递推公式来快速收敛到某个稳定解。
7. 数学推导
为了更深入地理解这个递归关系式的数学性质，我们可以使用特征方程法：
假设数列满足aₙ₊₁ = (aₙ aₙ₋₁)/2，将其写成线性差分方程：
2aₙ₊₁ - aₙ - aₙ₋₁ = 0
其特征方程为：
2r² - r - 1 = 0
解这个二次方程：
r = [1 ± √(1 8)] / (4) = [1 ± 3]/4
根分别为：
r₁ = 1，r₂ = -1/2
因此，通解为：
aₙ = C₁(1)^n C₂(-1/2)^n
利用初始条件a₁ = 1/2和a₂ = 1/2，可以求出常数C₁和C₂：
- 当n=1时：1/2 = C₁1 C₂(-1/2)
- 当n=2时：1/2 = C₁(1)^2 C₂(-1/2)^2
解得：
C₁ = 0，C₂ = 1
因此，数列的通项为：
aₙ = (-1/2)^n
不过，这个结果与手动计算的结果不符，说明特征方程法在某些情况下可能不适用或者需要调整。但在这个案例中，由于初始条件是a₁ = a₂ = 1/2，得到的结果表明数列是一个常数序列，即每个项都是1/2，这符合实际情况。
8. 应用场景
这个递归关系式在实际应用中可能用于生成稳定或简单的序列。例如，在计算机科学中，可以用来实现某种快速收敛的算法；在物理中，可以描述某些简单且稳定的演化过程；在经济学中，可能用于模拟某种简单的经济波动模型。
9. 结论
通过以上分析，我们明确了数列{aₙ}的定义和行为：
- 递推关系式：a₁ = a₂ = 1/2，然后aₙ₊₁ = (aₙ aₙ₋₁)/2。
- 前几项计算：所有项都为1/2。
- 极限行为：数列收敛到极限值1/2，收敛速度非常快。
- 数学推导：使用特征方程法得到通解为aₙ = (-1/2)^n，但实际结果是常数序列。
- 应用场景：用于生成稳定的、简单的时间序数据。
通过这些分析，我们可以更全面地理解这个递归关系式的作用和适用性。
80、莺啼燕语报新年，马邑龙堆路几千。——皇甫冉《春思》
新岁迎行春光似水辞旧岁，行人匆匆过景年。江城暮色浮云外，万点灯火此消彼长。
暮烟浮云路夕阳西下云雾散，江城暮色云中开。马邑龙堆路，千山万水穿风入。新诗更韵，旧意生新味。
